빨간 사과가 100개가 있습니다. 가로 세로 10줄씩 줄을 세워 놓았습니다. 마치 초등학교때 운동장에 서있는 모양과 같네요.

단순히 가로 10개 세로 10개 이니까 사과의 총 개수는 10 X 10 = 100 개입니다. 

이런 간단한 것 부터 조금은 더 복잡한 이야기를 해볼까 합니다.  

삼각수란 위 그림과같이 사과를 정삼각형의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말합니다. 네 번째 삼각수는 10이 되겠지요.

n번째 삼각수를 F(n)이라고 하면

F(1) = 1

F(2) = 1+ 2 = 3

F(3) = 1+ 2 + 3 = 6

F(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

사각수라는 것은 아래 그림과 같이 사과를 정사각형 꼴로 나태낸 것을 말합니다.

n번째 사각수를 G(n)이라고 하면

G(1) = 1² = 1

G(2) = 2² = 4

G(3) = 3² = 9

G(4) = 4² = 16

사각수는 제곱수가 되는 것을 쉽게 알 수 있다.

이제 우리는 삼각수와 사각수와의 관계를 주목해 보려고 한다. 

3번째 삼각수 두 개를 위 그림처럼 붙이면 평행사변형이된다.

위 그림을 수식으로 표현하면

( 1 + 2 + 3 ) X 2 = 3 X 4임을 알 수 있다.

이 것을 10번째 삼각수까지 확장해본다면 일반화 한다면

( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ) x 2  = 10 x 11임을 알 수 있다.

우리에게 친숙한  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10  =  10  x 11 / 2  = 55

라는 것을 굳이 어려운 수열을 쓰지 않더라도 사과를 놓는 방식으로 알아낼 수 있다. 

두 번째 삼각수 F(2) 과 세 번째 삼각수 F(2)를 더하면  세 번째 사각수 G(3)임 됨을 알 수 있습니다.

삼각수    1 3 6 10 15 21 28  ...   이웃하는 두 항의 합을 써보면

사각수 4 9 16 25 36 49 ... 된다는 것을 쉽게 확인 해 볼 수 있습니다.

일반적으로 G(N) = F(N) + F(N-1)이 성립한다는 것이지요.

1 , 3, 5, 7 와 같은 홀수를 10개를 더하면 얼마일까?

홀수의 합을 알아보는데는 사각수와 아주 밀접한 관계가 있다.

위의 그림에서 보면 1 + 3 + 5 + 7은 네 번째 사각수 16임을 쉽게 확인 할 수 있다.

위에서 물어본 10개의 홀수 합은 100이 되겠지요.

사각수를 이용하여 피타고라스 수를 구해보자.  3, 4, 5 또는 5, 12, 13등은  잘 알려진 피타고라스 수이다.

                 홀수의 합은 완전제곱수가 됨을 이용하여 피타고라스 수를  구해보자.

     하나.

      둘.

      셋.

사과의 개수를 어떻게 세느냐에 따라 수들의 오묘한 법칙을 찾을 수 있다. 이러한 자연수에 대한 연구는 가장 기본적이면서도 아직도 인류에게 많은 미스테리를 제공하고있다. 실마리를 잡지 못한 복잡한 수의 규칙도 시각화를 통하여 의외로 쉽게 풀린경우가 많다. 갯수를 세어갈때 조금씩 다르게 세어보면 보이지 않는 규칙을 찾기 바란다.